1. 一次函数

定义： 一次函数是指形如 `y = kx + b` （`k`, `b` 为常数，且 `k ≠ 0`）的函数。

关键要素：

自变量 x： 变量。

因变量 y： 随着 x 的变化而变化的量。

系数 k： 称为比例系数或斜率。它决定了函数的增减路线和倾斜程度：

`k > 0`：函数是递增的（随着 x 增大，y 增大）

`k 0`：正比例（x增大，y按比例增大）

`k < 0`：反路线正比例（x增大，y按比例减小，但路线相反）

`|k|` 越大，图像（直线）相对于 x 轴的倾斜程度越大。

没有常数项 b： 这是正比例函数区别于一般一次函数的最关键特征，`b = 0`。

正比例关系： 两个变量（x 和 y）之间，当一个变量（x）变化时，另一个变量（y）也按照一个固定的比例（k） 随之变化。或者说，比值 `y/x` 恒等于常数 `k`（`k ≠ 0`）。

图像： 正比例函数的图像是一条经过原点 `(0, 0)` 的直线。由于当 `x=0` 时，`y = k0 = 0`。

本质： 正比例函数是一种独特的一次函数。

例子：

`y = 3x` (`k=3`)

`y = -2x` (`k=-2`)

`y = x` (`k=1`)

`速度 = 时刻 恒定速度`（路程与时刻成正比，速度是比例系数 k）

`总价 = 数量 单价`（总价与数量成正比，单价是比例系数 k）

一次函数与正比例函数的关系

包含关系： 所有的正比例函数都是一次函数。由于正比例函数 `y = kx` 可以看作是 `y = kx + 0`，即一次函数 `y = kx + b` 在 `b = 0` 时的特例。

区别：

常数项 b： 这是最核心的区别。

一次函数 `y = kx + b` 中的 `b` 可以为任何实数（包括 0）。

正比例函数 `y = kx` 中的 `b` 必须为 0。

图像经过的点：

一次函数的图像不一定经过原点 `(0,0)`。当 `b ≠ 0` 时，它与 y 轴的交点是 `(0, b)`。

正比例函数的图像一定经过原点 `(0,0)`。

| 特性 | 一次函数 | 正比例函数 (独特的一次函数) |

| :-

| :–

| :– |

| 一般形式 | `y = kx + b` (`k ≠ 0`) | `y = kx` (`k ≠ 0`) |

| 常数项 b | 可以为任意实数 (`b ∈ R`) | 必须为 0 (`b = 0`) |

| 比例系数 k | `k ≠ 0`，决定增减性和倾斜度 | `k ≠ 0`，决定增减性和倾斜度 |

| 图像 | 直线 | 经过原点 `(0,0)` 的直线 |

| 是否过原点| 不一定 (当 `b ≠ 0` 时不过) | 一定过 |

| 关系 | 包含正比例函数 | 是一次函数当 `b=0` 时的特例 |

简单来说：正比例函数就是比例系数不为零 (`k ≠ 0`) 且常数项为零 (`b = 0`) 的一次函数。 它的图像必然经过坐标原点。